Tutorial: Schnittpunkt mehrerer Kreise (Multilateration)

Tutorial: Schnittpunkt mehrerer Kreise (Multilateration)
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In den Blog-Kommentaren hat Kalle eine Frage zu einem Mystery-Cache gestellt:

– es gibt 4 Ausgangspunkte (Koords) mit jeweils einer Abstandsangabe zum Final
– im Schnittpunkt aller Abstandslinien soll das Final liegen
– da ich nicht die Peilungs-Richtung habe, geht das wohl nur mit einer Umkreissuche
– im Schnittpunkt aller Kreise sollte dann das Final liegen

Bei der Problemstellung handelt es sich um eine sogenannte Multilateration – im speziellen Fall ist es eine Quadlateration (weil vier Punkte gegeben sind), im Allgemeinen reichen in der Ebene aber drei Punkte aus um einen eindeutigen Schnittpunkt bestimmen zu kommen (Trilateration).

Die Aufgabenstellung etwas formaler aufgeschrieben:

  • Gegeben sind die Koordinaten dreier Punkte A, B und C, sowie drei Radien radiusA, radiusB und radiusC von Kreisen um A, B und C.
  • Gesucht ist der Schnittpunkt D der drei Kreise, falls ein solcher existiert.

An einem fiktiven Geocache werde ich nun vorführen, wie man dieses Problem ganz einfach mit der Karte lösen kann:

Bei N 48 02.228 E 007 54.595 steht ein Baum, bei N 48 02.959 E 007 55.161 befindet sich ein alter Grenzstein und bei N 48 02.825 E 007 56.278 findest du eine gelbe Telefonzelle. Der Schatz ist 555m vom Baum, 1111m vom Grenzstein und 2222m von der Telefonzelle entfernt.

Ein klarer Fall von Trilateration! Und so geht’s mit der Karte:

1. Karte öffnen.

2. Koordinaten des Baums (N 48 02.228 E 007 54.595) ins Suchfeld eingeben, das Lupensymbol anklicken und mit „neu“ einen neuen Marker erstellen (Marker A):
schritt1
schritt2

3. Marker bearbeiten (Klick auf schritt3): Name („Baum“) und Radius („555“) eintragen; „Ok“ anklicken:
schritt4

4. Schritte 2 und 3 für den Grenzstein (Marker B) und die Telefonzelle (Marker C) wiederholen. Das Ergebnis sieht dann so aus:
schritt5

5. Einen weiteren Marker (D) durch einen Klick auf „neu“ erzeugen und an den Schnittpunkt der Kreise verschieben; man muss womöglich ein bisschen in die Karte reinzoomen um den Schnittpunkt genau zu treffen.
schritt6

6. Fertig! Die Koordinaten des Schnittpunkts kann man in der Seitenleiste bei Marker „D“ bequem ablesen. Im Beipiel sind es N 48 02.525 E 007 54.544.
schritt7

Das Ganze funktioniert auch mit zwei gegebenen Punkten und Radien, dann erhält man zwei Schnittpunkte (falls sich die Kreise echt schneiden), einen Schnittpunkt (falls sich die Kreise gerade berühren) oder gar keinen Schnittpunkt (falls die Kreise so weit auseinander liegen, dass sie sich nicht schneiden).